Thème 1 : Analyse
Maîtriser les limites de fonctions, la dérivation avancée, les fonctions logarithme et exponentielle, et le calcul intégral.
Volume horaire : 72 heures
1.1 Limites et continuité
Étudier les comportements asymptotiques et les propriétés de continuité des fonctions.
Notions clés
- Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient
- Formes indéterminées : ∞-∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0
- Croissances comparées : ln(x)/xⁿ → 0, xⁿ/eˣ → 0
- Théorème des gendarmes : g ≤ f ≤ h et lim g = lim h = L ⟹ lim f = L
- Théorème des valeurs intermédiaires : f continue sur [a;b], f(a)f(b) < 0 ⟹ ∃c ∈ ]a;b[ tel que f(c) = 0
Compétences attendues
- Calculer des limites en utilisant les théorèmes
- Lever des formes indéterminées
- Déterminer les asymptotes d'une courbe
- Appliquer le TVI pour localiser une racine
- Utiliser les croissances comparées
Vocabulaire clé
1.2 Dérivation avancée et fonctions logarithme
Étudier les fonctions logarithmes et leurs applications en dérivation et convexité.
Notions clés
- ln est la primitive de 1/x sur ]0;+∞[
- Propriétés : ln(ab) = ln a + ln b, ln(aⁿ) = n ln a
- Dérivée : (ln u)' = u'/u
- Croissance comparée : ln(x)/xⁿ → 0 quand x → +∞
- Asymptote oblique : y = ax + b si f(x) - (ax+b) → 0
Compétences attendues
- Calculer la dérivée d'une fonction contenant ln
- Résoudre des équations et inéquations avec ln
- Étudier complètement une fonction (domaine, limites, dérivée, tableau, courbe)
- Déterminer une asymptote oblique
- Étudier la convexité d'une fonction
Vocabulaire clé
1.3 Primitives et calcul intégral
Maîtriser les techniques de calcul intégral et leurs applications géométriques.
Notions clés
- Primitive de f : F telle que F' = f
- Intégrale définie : ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
- Aire entre courbe et axe des abscisses
- Intégration par parties : ∫u'v = [uv] - ∫uv'
- Valeur moyenne de f sur [a;b] : (1/(b-a)) ∫ₐᵇ f(x)dx
Compétences attendues
- Calculer des primitives de fonctions usuelles
- Calculer une intégrale définie
- Calculer une aire entre deux courbes
- Utiliser l'intégration par parties
- Calculer la valeur moyenne d'une fonction
Vocabulaire clé
1.4 Équations différentielles
Résoudre des équations différentielles et modéliser des phénomènes par des ED.
Notions clés
- Équation y' = ay : solution y = Ce^(ax)
- Équation y' = ay + b : solution y = Ce^(ax) - b/a
- Équation y'' + py' + qy = 0 : équation caractéristique r² + pr + q = 0
- Cas Δ > 0 : y = Ae^(r₁x) + Be^(r₂x)
- Cas Δ = 0 : y = (A + Bx)e^(rx)
Compétences attendues
- Résoudre une équation différentielle du premier ordre
- Résoudre une équation différentielle du second ordre
- Déterminer la solution vérifiant une condition initiale
- Modéliser un phénomène par une équation différentielle
- Résoudre numériquement avec la méthode d'Euler en Python