Thème 1 : Algèbre
Maîtriser les suites numériques, les polynômes du second degré, les systèmes linéaires et les notions de logique et raisonnement.
Volume horaire : 54h
1.1 Suites numériques
- Calculer les termes d'une suite arithmétique ou géométrique
- Calculer la somme des n premiers termes
- Démontrer une propriété par récurrence
- Étudier la monotonie d'une suite
- Programmer le calcul de termes d'une suite en Python
Notions clés
- Suite arithmétique : uₙ = u₀ + nr, somme = n(u₀+uₙ)/2
- Suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ, somme = u₀(1-qⁿ)/(1-q)
- Raisonnement par récurrence : initialisation + hérédité
- Suite croissante si uₙ₊₁ - uₙ > 0 ou uₙ₊₁/uₙ > 1
- Limite d'une suite géométrique : |q| < 1 ⟹ qⁿ → 0
Vocabulaire
1.2 Second degré
- Résoudre une équation du second degré
- Factoriser un trinôme
- Résoudre une inéquation du second degré
- Déterminer le sommet d'une parabole
- Résoudre des problèmes d'optimisation quadratique
Notions clés
- Discriminant Δ = b² - 4ac
- Δ > 0 : deux racines réelles x₁,₂ = (-b ± √Δ) / 2a
- Δ = 0 : racine double x₀ = -b/2a
- Δ < 0 : pas de racine réelle
- Signe du trinôme : du signe de a à l'extérieur des racines
Vocabulaire
1.3 Logique, ensembles et raisonnement
- Identifier la contraposée d'une implication
- Rédiger une démonstration par l'absurde
- Utiliser les quantificateurs dans une démonstration
- Effectuer des opérations sur les ensembles
- Distinguer condition nécessaire et suffisante
Notions clés
- Implication : P ⟹ Q (si P alors Q)
- Contraposée de P ⟹ Q : non-Q ⟹ non-P
- Raisonnement par l'absurde : supposer non-Q et aboutir à contradiction
- Quantificateur universel ∀ et existentiel ∃
- Opérations sur les ensembles : ∩, ∪, complémentaire
Vocabulaire
1.4 Arithmétique et dénombrement
- Calculer des arrangements et combinaisons
- Utiliser le triangle de Pascal
- Développer (a+b)ⁿ avec la formule du binôme
- Dénombrer des situations par les principes additif et multiplicatif
- Résoudre des problèmes de dénombrement
Notions clés
- Factorielle : n! = n × (n-1) × ... × 1
- Arrangements : Aₙᵖ = n!/(n-p)!
- Combinaisons : Cₙᵖ = n! / (p!(n-p)!)
- Triangle de Pascal : Cₙᵖ = Cₙ₋₁ᵖ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵖ
- Formule du binôme : (a+b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aᵏ bⁿ⁻ᵏ